CERITA PYTHAGORAS

Teorema Pythagoras adalah suatu pernyataan mengenai relasi atau hubungan sisi-sisi dalam suatu segitiga siku-siku. Misalkan kita diberikan sebuah segitiga siku-siku sebagai berikut:

Teorema Pythagoras mengatakan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang saling tegak lurus sama dengan kuadrat dari sisi miringnya.

Secara matematis, kita bisa bilang bahwa untuk segitiga siku-siku seperti pada gambar diatas, persamaan ini berlaku:

Kita masuk ke contoh sederhana deh. Misalkan, pak Made ingin membuat wahana flying fox seperti skema segitiga siku-siku yang terlihat di bawah ini.

Tinggi menara adalah 30 m. Jarak dari menara ke dataran seberang adalah 40 m. Berapakah panjang tali yang diperlukan pak Made untuk dipasang dari atas menara, menyusuri perairan ke dataran seberang? Walah, gampanglah soal ini buat lu.
Misalkan adalah tinggi menara, adalah jarak antara menara dan dataran di seberangnya, dan adalah panjang tali flying fox yang diperlukan. Dengan teorema Pythagoras, kita dapat:

Karena panjang selalu bernilai positif, kita ambil . Jadi, panjang tali yang diperlukan pak Made adalah 50 m.
Keliatannya simpel yah. Tapi perhitungan jarak pada hubungan sisi-sisi segitiga ini pastinya banyak kita temukan di berbagai aspek kehidupan. Oleh karenanya, teorema Pythagoras menjadi fondasi trigonometri. Teorema Pythagoras menjadi dasar perhitungan buat teorema-teorema lain di matematika, khususnya trigonometri. Dan tanpa trigonometri, kita tidak akan punya banyak hal yang membentuk peradaban manusia sekarang. Tanpa trigonometri, tidak akan ada sains, arsitektur, ilmu kelautan, astronomi, bahkan ga akan ada tuh rumah, mobil, komputer, dan berbagai teknologi modern yang kita nikmati sekarang.
Nah, ada beberapa cerita menarik di balik sebuah teorema sederhana yang membangun peradaban kita ini. Ternyata eh ternyata:

(1) bukan Pythagoras yang pertama kali menemukan perhitungan ini

(2) teorema Pythagoras yang kita ketahui sekarang berbeda dengan pernyataan teorema Pythagoras ketika Pythagoras hidup pada zaman Yunani kuno.

Waduh, siapa dong yang nemuin? Kalo bukan dia yang nemuin, kok bisa nama Pythagoras yang dipake untuk teorema ini? Trus gimana lagi tuh ceritanya teorema Pythagoras bisa berubah?
Oke, pada artikel ini gue akan bercerita tentang seluk-beluk teorema Pythagoras. Bagaimana teorema ini bisa dinamai Pythagoras? Bagaimana pula perkembangannya dari awal hingga versi yang kita sering pake di masa sekarang? Buat lu yang ngakunya pecinta Matematika, lu wajib banget baca artikel ini sampe habis. Artikel ini juga sangat gue rekomendasikan buat lu yang lagi melatih skill pembuktian rumus. Langsung aja ya.

Gimana Ceritanya Teorema ini Dinamakan Pythagoras?

Kita kenalan dulu deh ya dengan sosok Pythagoras. Pythagoras dilahirkan di sebuah pulau bernama Samos, sebuah pulau di Yunani pada tahun 570 sebelum masehi. Selama hidupnya, dia suka berkelana ke berbagai macam tempat, seperti Mesir dan Babilonia. Selama perjalanannya, dia mengumpulkan ilmu dari peradaban tempat dia berkunjung. Kemudian, dia mulai menetap di Crotone, Italia. Di sini lah Pythagoras mendirikan suatu gerakan atau sekolah bernama Pythagorean. Di sekolahnya ini, Pythagoras mengajarkan para pengikutnya bahwa segala sesuatu yang ada di alam semesta ini bisa dinyatakan dalam bilangan-bilangan. Karena itu, Pythagoras dan para pengikutnya sangat memuja angka dan rasio-rasio yang bisa dinyatakan dengan bilangan tersebut.
Di sekolah yang dia dirikan ini, dia mulai mengutak-atik ilmu yang dia kumpulkan saat dia berkelana, salah satunya adalah pengetahuan tentang relasi antar sisi-sisi segitiga siku-siku. Berdasarkan catatan sejarah, orang-orang di peradaban Babilonia, Mesir, India, bahkan Cina kuno ternyata sudah memiliki pemahaman tentang relasi antar sisi-sisi segitiga siku-siku beberapa ribu tahun sebelum Pythagoras lahir. Salah satu bukti sejarah adalah tablet milik peradaban Babilonia. Pada tablet ini, tertulis banyak kombinasi 3 angka yang memenuhi syarat teorema Pythagoras atau sekarang kita sebut juga sebagai Pythagorean triple. Coba pikir, gimana caranya peradaban kuno tersebut bisa membangun bangunan, seperti piramida, kalo bukan pake pengetahuan relasi antar sisi-sisi segitiga siku-siku?

Terus kenapa malah Pythagoras yang mendapatkan “penghargaan” dan namanya dipake untuk menamai perhitungan relasi antar segitiga siku-siku?

Pythagoras mendapat kredit/penghargaan atas teorema ini karena dia dianggap sebagai orang yang membawa pengetahuan tersebut ke peradaban Yunani yang selanjutnya menjadi pusat ilmu pengetahuan pada zamannya. Pythagoras juga diusung sebagai yang pertama kali berhasil mendokumentasikan serta membuktikan teorema ini secara sistematis. Saking senengnya doi ketika berhasil membuktikan perhitungan ini, menurut legenda, Pythagoras sampe mengorbankan 100 ekor sapi! Sejak saat itu, pengetahuan relasi antar sisi-sisi segitiga siku-siku disebut sebagai Teorema Pythagoras.

Pembuktian Teorema Pythagoras Modern

Nah, sekarang lo udah tau kenapa Teorema ini dinamakan Pythagoras. Kita bisa lanjut bahas perkembangan teorema ini. Seperti yang gue sebut di atas, teorema Pythagoras yang sering kita pake sekarang, berbeda dengan perhitungan ketika digunakan oleh orang-orang di peradaban kuno atau ketika Pythagoras berhasil membuktikannya. Tapi biar lu bisa melihat kontrasnya, sebaiknya kita mulai dulu dengan membuktikan Teorema Pythagoras versi modern.
Misalkan kita punya gambar seperti berikut:

Maksud dari gambar ini adalah kita diberikan empat segitiga siku-siku yang identik, di mana keempat segitiga siku-siku tersebut disusun sedemikian rupa sehingga membentuk suatu persegi besar dengan sisi dan sebuah persegi putih dengan sisi di dalam persegi besar tersebut.
Sekarang, kita ingin mengatur letak segitiga siku-sikunya sedemikian rupa sehingga kita mendapatkan dua buah persegi dengan sisi-sisi dan sisi-sisi . Caranya adalah, kita geser segitiga siku-siku berwarna hijau tua dari kanan bawah ke kiri atas sehingga dia menempel segitiga siku-siku berwarna biru muda. Kemudian, kita geser pula segitiga siku-siku berwarna biru tua dari kiri ke kanan dan segitiga siku-siku berwarna hijau muda dari atas ke bawah sedemikian rupa sehingga keduanya saling menempel. Dari proses tersebut, kita mendapatkan gambar sebagai berikut:

Supaya melihatnya lebih enak, coba kita bandingkan kedua gambar persegi di atas menjadi seperti ini:

Dari gambar gabungan kedua persegi diatas, terlihat bahwa kita hanya menggeser segitiga siku-siku berwarna biru tua, hijau tua, dan hijau muda. Itu berarti, luas persegi luar dengan sisi  baik sebelum maupun sesudah pergeseran segitiga siku-siku adalah sama besar. Secara matematis, kita bisa bilang bahwa:

Kurangkan kedua ruas persamaan di atas dengan , kita dapat:

Pembuktian yang kita lakukan di atas sebenarnya berasal dari gagasan Pythagoras sendiri. Pembuktiannya sangat sederhana dan elegan ya.

Teorema Awal Pythagoras

Sampai di sini, gue harap lu udah ngerti pembuktian Teorem Pythagoras modern. Sekarang lu udah bisa masuk dan melihat kontrasnya dengan Teorema Pythagoras versi awal. Pada versi modern, kita biasanya menafsirkan teorema Pythagoras sebagai relasi antar PANJANG dari sisi-sisi segitiga siku-siku. Namun, interpretasi teorema Pythagoras yang sekarang ini sebenarnya agak berbeda dengan interpretasi teorema Pythagoras oleh Pythagoras sendiri semasa dia hidup.
Pythagoras menafsirkan teorema ini sebagai relasi antar LUAS PERSEGI atau bujur sangkar yang terbentuk di setiap sisi-sisi segitiga siku-siku. Gambarnya kira-kira seperti ini:

Sumber: blogspot

Jadi, pernyataan teorema Pythagoras berdasarkan interpretasi Pythagoras adalah sebagai berikut:

Dalam suatu segitiga siku-siku, jumlah luas dari masing-masing persegi yang terbentuk dari sisi-sisi yang saling tegak lurus sama dengan luas dari persegi yang terbentuk dari sisi miringnya.

Dari sini aja udah keliatan banget bedanya. Secara matematis, dalam suatu segitiga siku-siku seperti gambar yang kedua, persamaan ini berlaku:

di mana:

Pernyataan matematis ini pertama kali dinyatakan oleh Euclid, seorang matematikawan Yunani kuno yang terkenal dengan bukunya berjudul The Elements. Oiya, buat lo yang masih belum kenal Euclid, lu bisa baca betapa gokilnya dia di sini, Euclid: Bapak Geometri yang Terlupakan.
Jadi, matematikawan zaman Yunani kuno, seperti Euclid, tidak melihat teorema Pythagoras ini sebagai relasi antar panjang dari setiap sisi-sisi segitiga siku-siku, tetapi sebagai relasi antar luas dari persegi yang terbentuk di setiap sisi-sisi segitiga siku-siku.
Mengapa bisa demikian? Karena jika teorema tersebut dinyatakan dalam relasi antara antar panjang setiap sisi-sisi segitiga siku-siku, maka Pythagoras harus berurusan dengan bilangan irasional. Apa itu bilangan irasional? Semua bilangan yang bisa dinyatakan dengan bentuk pecahan bilangan bulat seperti , , dan sebagainya adalah bilangan rasional. Bilangan real yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan seperti itu adalah bilangan irasional. Jadi, kalau Pythagoras menemukan suatu segitiga yang masing-masing sisinya adalah 1 dan 2 misalnya, maka berapa panjang sisi miringnya?

Nah, itu adalah bilangan irasional. Jangankan alat bantu hitung seperti kalkulator, simbol akar kuadrat aja belum ada pada jaman itu. Simbol akar kuadrat pertama kali diperkenalkan oleh Christoph Rudolff pada tahun 1525 (2000 tahun lebih setelah Pythagoras lahir). Jadi, Pythagoras hanya bisa menafsirkan kuantitas bilangan irasional seperti dalam geometri saja, yaitu sebagai segmen garis yang terbentuk dari segitiga siku-siku sama kaki. Doi ga tau nilai sesungguhnya dari .
By the way, kalau mau tahu lebih banyak tentang apa itu bilangan rasional, irasional, real, imajiner, dll.

Gimana Teorema Pythagoras Berkembang Seperti Sekarang?

Trus lu pun bertanya:

Kok bisa teorema Pythagoras versi awal yang menggunakan relasi antar luas persegi berubah menjadi versi modern yang mengunakan relasi antar panjang dalam segitiga siku-siku?

Jawabannya adalah peristiwa yang dikenal sebagai “Dilema Akar 2” yang diduga ditemukan oleh seseorang bernama Hippasus, salah satu pengikut Pythagoras. Pada tahun sekitar 500 sebelum masehi, dia berhasil menunjukkan bahwa:

tidak ada bilangan rasional yang jika dikuadratkan, maka hasilnya sama dengan dua

Ingat, pada zaman itu, para matematikawan belum mengenal konsep bilangan irasional, mereka cuma taunya bilangan rasional aja. Dia menemukan hal ini ketika dia menerapkan teorema Pythagoras untuk mencari rasio antara sisi miring dan sisi alas dari suatu segitiga siku-siku sama kaki. Ketika dia berusaha melakukan hal ini, dia menemukan bahwa mustahil untuk menyatakan kuadrat dari rasio antara sisi miring dan sisi alas dari suatu segitiga siku-siku sama kaki yang hasilnya sama dengan 2.
Maksudnya apa sih? Coba deh kita jabarkan secara matematis:.
Kita punya premis:  Tidak ada bilangan rasional  yang memenuhi

Gimana cara buktiinnya?

• Asumsikan bahwa dan adalah bilangan bulat (bilangan negatif, positif, atau nol), di mana .
• Trus, asumsikan juga bahwa dan TIDAK memiliki faktor persekutuan atau kelipatan yang sama supaya pecahan  merupakan pecahan dalam bentuk yang paling sederhana untuk memenuhi persamaan di atas. Jika dan memiliki faktor persekutuan, kita bisa membagi dan dengan faktor persekutuan tersebut sehingga pecahan  menjadi pecahan dalam bentuk yang paling sederhana. Kalo misalnya dan , mereka punya faktor persekutuan dong, . Nah, ini ga boleh ya. Jadi dan ga boleh memiliki faktor persekutuan/kelipatan untuk bisa memenuhi premis di atas.
• Oke lanjut. Dengan manipulasi aljabar, kita dapat:

• Nah, dari baris terakhir kita tau kalo pasti bilangan genap. Kenapa? Kan sama dengan hasil dari 2 dikali . Apapun bilangannya, kalo dikali 2 pasti jadi genap dong.
• Karena adalah bilangan genap (bilangan yang habis dibagi dua), maka harus berupa bilangan genap juga. Ya ga? Suatu bilangan ganjil kalo dikuadratkan, ga mungkin menghasilkan bilangan genap, pasti ganjil juga. Contohnya, 3 adalah bilangan ganjil karena 3 tidak habis dibagi 2. Kuadrat dari 3 adalah 9, di mana 9 juga merupakan bilangan ganjil karena tidak habis dibagi 2. Jadi, untuk menghasilkan bilangan kuadrat yang genap, harus berupa bilangan genap juga.
• Karena bilangan genap, kita bisa buat .
• Substitusikan  ke persamaan , kita dapat:

• Di sini, terlihat kalo  juga merupakan bilangan genap.
• Dengan alasan yang sama seperti dijelaskan di atas, kita simpulkan bahwa juga merupakan bilangan genap, katakanlah .
• Karena  dan , terlihat bahwa dan memiliki faktor persekutuan, yaitu 2.
• Ini bertentangan dengan asumsi di awal bahwa dan tidak memiliki faktor persekutuan. Artinya, asumsi bahwa ada suatu pecahan  dalam bentuk yang paling sederhana yang memenuhi  adalah salah.
• Kesimpulannya, tidak ada bilangan rasional  yang memenuhi persamaan .
• Terbukti!

Penemuan Hippasus ini ternyata sangat mengejutkan pengikut Pythagoras karena ini bertentangan dengan apa yang mereka yakini selama ini, yaitu segalanya bisa dinyatakan dalam rasio antar dua bilangan asli. Menurut legenda, karena penemuan Hippasus ini, dia bahkan ditenggelamkan ke laut oleh para pengikut Pythagoras. Penemuan Hippasus ini jugalah yang mengawali munculnya konsep bilangan irasional sehingga mengakibatkan perubahan pernyataan teorema Pythagoras menjadi teorema Pythagoras seperti yang kita kenal sekarang ini.
Sumber